Problém prvního rande
Adam a Eva se potkali na diskotéce. Dobře si spolu zařádili, a tak se dohodli, že se druhý den znovu setkají u kašny na Centrálním náměstí. V kraválu tanečního sálu bylo však obtížné se domluvit, a tak oba vědí jen to, že rande mají mezi 13 a 14 hodinou, ale nevědí přesně kdy. Setkají se?
Jaké je časové hřiště?
Vymezme nejprve základní prostor, ve kterém se celá událost odehrává. Označme x čas příchodu Adama a y čas příchodu Evy. Mezi 13 a 14 hodinou je celkem 60 minut.
Náhodný příchod Adama a Evy, zde představují souřadnice [x;y] bodu ve čtverci 60 x 60. Body čtverce představují všechny možnosti jejich příchodu. Snadno určíme, že S(¤) = 602 = 3600.
Stačí 10 minut, abychom si nezadali?
A) Nejprve nás bude zajímat, jestli se setkání vůbec uskuteční. Tedy otázka zní: Jaká je pravděpodobnost, že se rande neuskuteční, protože ani jeden není ochoten na druhého čekat déle než 10 minut, (a jen mezi 12-13 hodinou) a pak odchází?
Aby k setkání mohlo dojít, musí se časy příchodu lišit nejvýše o 10 minut. Matematicky to zapíšeme nerovností
|x – y| < 10 tj. x – y < 10 a zároveň y – x < 10
Tuto oblast představuje na obrázku tmavý pás.
Rande se neuskuteční v případech, kdy bod příchodu [x;y] padne do některého ze dvou světlých trojúhelníků. Tyto trojúhelníky (přiraženy k sobě) tvoří čtverec o straně 50 a jeho obsah je
S(A) = 502 = 2500.
Pravděpodobnost, že se Adam s Evou nesejdou je
P(A) = 502/602 = 0,694,
neboli sejdou se (opačný jev) s pravděpodobností
P(A‘) = 1 – 0,694 = 0,306.
Adam je zamilovaný? Asi jo!
B) Řekněme, že Adam má daleko větší zájem na tom, aby k setkání došlo, což se projeví tím, že je ochotný čekat až půl hodiny? Jak se změní pravděpodobnost společně stráveného odpoledne, když Eva zůstane na čekací době deseti minut.
Oblast uskutečněného setkání se nyní rozšiřuje v Adamově směru. Obsah tmavého pásu (příznivá oblast jevu B) vypočítáme jako obsah celého čtverce minus velký světlý trojúhelník minus malý světlý trojúhelník:
S(B) =602 – 502/2 – 302/2 = 1900.
Pravděpodobnost setkání se zvyšuje na
P(B) = 1900/3600 = 0,528.
Tradiční čtvrthodinka pouhá
C) Do třetice spočítejme pravděpodobnost setkání pro případ, že se Adam i Eva rozhodnou dodržet tradiční čtvrthodinku.
Situace je znázorněna obrázkem k jevu ad A) s tím rozdílem, že místo 10 minut je teď 15 minut. Hledaná pravděpodobnost proto je
P(C) = 1 – 452/602 = 0,4375.
Železné pravidlo králů
Jak je vidět, ani akademická čtvrthodinka nezaručuje úspěch. Ani čekat půl hodiny se v podstatě nevyplatí. Nejlepší je držet se královského železného pravidla: domluvit se na přesném čase a ten taky dodržet.
Podobná tématika je https://zvedavalea.cz/problem-ludolfova-cisla/